辞書引いてたら、
「おこがましい……①さしでがましい③身の程知らずである。生意気である　の意味」
とあった。
そこで、
「問われて名乗るもおこがましいが」
とは、どういうことだろう？と、ちょっとだけ考え込んでしまった。

「本来なら自分から名乗るべきなのに、あなた様に先に「誰だ？名を名乗れ」などと言わせてしまいました。問われてから名乗るなんてく身の程知らずで生意気で失礼きわまりないことで申し訳ありませんが、聞かれたからにはお答えいたしましょう」
ということか。